Основные понятия и определения

В теории вероятностей и математической статистике часто используются специфические понятия, из которых основными являются следующие: событие, испытание (опыт), случайная величина, вероятность, частота и частость.

Под событием понимается явление, которое происходит в результате осуществления какого-либо определенного комплекса условий. Осуществление этого комплекса условий принято называть опытом или испытанием. События обычно обозначают строчными буквами латинского алфавита А, В, С и т.д.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате данного опыта.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного испытания.

Если при испытании может произойти событие А либо В, либо С и так далее, такие события называются возможными или случайными.

Следовательно, случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания (опыта).

Например, если в ящике находится сто деталей и среди них одна деталь дефектная, то извлечение из ящика этой детали будет случайным событием, так как оно может наступить или не наступить.

Теория вероятностей имеет дело не только со случайными событиями, но также со случайными величинами / 25 /. Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате испытаний может принять то или иное значение. Например, действительный размер детали, обработанной на станке, является случайной величиной, так как он может принять любое численное значение в пределах допуска на размер.

В жизни чаще встречаются события, сравнить или оценить возможность появления которых, основываясь на часто интуитивных соображениях, трудно. Многочисленные примеры показывают, что каждое событие обладает определенной степенью возможности наступления, то есть определенной оценкой. Такую оценку событий называют вероятностью события.

Вероятность события – это численная мера объективной возможности его появления. Вероятность какого-либо события А обозначается символом Р (А). Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей. Существуют классическое и статистическое определения этого понятия.

По классическому определению вероятностью события А называется число случаев m, благоприятствующих этому событию, к числу n всех возможных случаев данного класса испытаний:

 .

При этом число всех случаев n должно быть конечно и все они должны быть равновозможные, несовместимы и независимы.

События называются равновозможными, если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое. Например, появление »герба» и появление «решки» при бросании монеты – равновозможные события.

События называются несовместимыми, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого. Например, бросается монета. Появление «решки» исключает появление »герба», и наоборот. Поэтому появление «решки» и появление «герба» – несовместимые события.

Под независимыми событиями понимаются такие, появление которых не зависит от того, какое событие произошло перед этим. Под данным классом испытаний подразумевается совокупность неизменных условий, осуществление которых приводит к тому или иному событию.

Сформулированное классическое определение понятия вероятности позволяет вычислить вероятность какого-либо случайного события теоретически, не прибегая к опыту. Однако по различным причинам это не всегда возможно осуществить. Отмеченное обстоятельство продиктовало необходимость наравне с классическим определением пользоваться также статистическим определением вероятности. Такое определение вероятности исходит из понятий частота и частость.

При изучении массовых явлений какое-либо случайное событие или случайная величина могут появляться несколько раз в процессе испытаний. Например, при N испытаниях событие А фактически появлялось К раз. Число К носит название частоты появления события А. Отношение К к общему числу испытаний N носит название частости события А или относительной частотой, которую обозначают m_А :

.

Например, на станке обработано сто деталей. При измерении деталей оказалось, что восемьдесят пять из них имеют размеры, лежащие в пределах допуска, а размеры остальных выходят за пределы допуска. Следовательно, частость события А, заключающегося в появлении годных деталей при ста испытаниях, составляет

.

Частость события В – появление брака:

.

Если случайное событие имеет устойчивую частость в серии массовых испытаний, то есть в каждой серии испытаний частость этого события изменяется незначительно и колеблется вблизи некоторого положительного числа, то это число и принимается за вероятность данного события. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что частость появления события А была близка к числу 0,5, то это число и будет приближенно равно вероятности события А.

Вычисленную таким способом вероятность называют статистической, так как она получена в результате опытов.

Вышеизложенные положения позволяют выделить следующие основные свойства:

1. Вероятность достоверного события А₁ равна единице:

Р (А₁) = 1

2. Вероятность невозможного события А₂ равно нулю:

Р (А₂) = 0

3. Вероятность случайного события А₃:

 0 < Р (А₃) < 1

Вероятности случайных событий или величин можно складывать и умножать. Правила этих действий изложены в специальной литературе / 25 / и др.

Статистическое определение вероятности позволяет сделать вывод, что между вероятностью и частостью какого-либо события существует приближенное равенство:

 ? ,

которое будет тем точнее, чем больше число испытаний N. Это положение было теоретически доказано Я.Бернули и составляет содержание теоремы, носящей его имя / 25 /.