Случайные величины и их распределение

Cлучайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные.

Возможности случайных величин принимать при испытаниях те или иные численные значения оцениваются при помощи вероятностей.

Совокупность значений случайной величины, расположенных в возрастающем порядке с указанием их вероятностей, называется распределением случайных величин. В теоретических распределениях оценка возможных значений случайной величины производится при помощи вероятностей, а в эмпирических – при помощи частот или частостей, полученных в результате опытов и испытаний. Следовательно, эмпирическим распределением случайной величины называется совокупность наблюденных ее значений, расположенных в возрастающем порядке, с указанием соответствующих частот или частостей.

Распределение случайных величин можно представить в виде табл. 2.1 и табл.2.2 или графика, составленного на основании табл.2.2 (рис.2.1).

Таблица 2.1

Теоретическое распределение случайной дискретной величины

Таблица 2.2

Эмпирическое распределение случайной дискретной величины

Таблица 2.3

Эмпирическое распределение случайной непрерывной величины

 е К_i = 100 е m_i = 1

Распределение случайной непрерывной величины может быть представлено также в виде таблицы и в виде графиков. В этом случае для составления таблицы практического распределения в совокупности значений случайной величины находят ее максимальное (х_max) и минимальное (х_min) значения, затем определяют поле рассеяния

ω_х = х_max – х_min .

Значения случайной величины, составляющие совокупность, делят на равные интервалы. Их число определяют из отношения

ц = ω_х /а ,

где а – значение избранного интервала.

Затем по интервалам подсчитываются частоты и частости. Поэтому таблица эмпирического распределения случайной непрерывной величины будет иметь вид, представленный в табл.2.3.

Практическое распределение случайной непрерывной величины графически может быть представлено либо гистограммой распределения (ступенчатого графика), либо практической кривой (полигоном) распределения (рис.2.2).

При теоретических описаниях и изучении случайных непрерывных величин затруднительно производить их разбивку на интервалы. Поэтому во избежание этих затруднений вводится понятие функции распределения, которое является наиболее общей формой закона распределения случайной величины.

Пусть Х– случайная величина, а х – какое-либо действительное число, при этом Х < х, и этому событию отвечает вероятность Р (Х < х), которая, очевидно, является функцией х, то есть Р (Х < х) = F (х).

F (х) называется функцией распределения вероятностей случайной величины или интегральной функцией распределения. Таким образом, интегральная функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина Х при испытаниях примет значение меньше произвольно изменяемого действительного числа х (- Ґ < х < + Ґ ). Случайная величина считается заданной, если известна ее функция распределения.

Для дискретной случайной величины интегральная функция распределения F (х) легко определяется по таблице или графику распределения. Например, по графику (рис.2.3) F (х) для любого значения х равна сумме вероятностей тех значений Х, которые лежат влево от точки х . Например, для Х < 3 .

Р (Х < 3) + Р (х = 0) + Р (х = 1) + Р (х = 2) = .

Интегральную функцию распределения можно представить в виде графика, если по оси абсцисс откладывать значения х, а по оси ординат значения F (х) = Р (Х < х).

Для случайной дискретной величины график интегральной функции распределения будет иметь вид ступенчатой кривой. На рис.2.3 представлен такой график, построенный по данным табл.2.2.

Ординаты такой кривой для любого значения х будет представлять сумму вероятностей предшествующих значений х, то есть

F (х) = Р (Х < х) .

Если известны F (х₁) и F (х₂), то есть ординаты интегральной кривой для двух произвольных точек, взятых по оси абсцисс, то известны и вероятности событий, заключающихся в том, что значения случайной величины Х при испытаниях окажутся меньше, чем х₁ или х₂ , так как

F (х₁) = Р (Х < х₁); F (х₂) = Р (Х < х₂).

Выполняя определенные действия и преобразования, можно записать

 / 25 /:

Р (х₁ Ј Х < х₂) = F (х₂) – F (х₁).

Таким образом, вероятность того, что случайная величина при испытаниях окажется в границах от х₁ до х₂, равна приращению интегральной функции распределения на этом участке.

Для случайной непрерывной величины график функции распределения будет иметь вид монотонно возрастающей кривой (рис.2.4), а сама функция будет дифференцируемой. Производная j (х) = F¹ (х) функции распределения F (х) случайной непрерывной величины х называется плотностью вероятности или дифференциальным законом распределения этой случайной величины.

Графически дифференциальный закон распределения может быть представлен кривой линией, построенной в координатах Х, j (х), рис.2.5. Отмеченные обстоятельства подробно изложены в источнике / 25 /.

Зная плотность вероятности, можно определить вероятность того, что значение случайной величины Х окажется в интервале от а до в:

Р (а < Х < в) =  .

В данном случае вероятность будет равна площади участка с основанием а в, ограниченного сверху кривой плотности вероятности.

Очевидно, что если случайная величина Х изменяется в пределах ± Ґ , то вероятность того, что она при испытаниях примет любое значение в интервале ± Ґ, равна 1, то есть

Р (-Ґ < Х < + Ґ) = F (Ґ) – F (- Ґ) = .

В литературе, посвященной теории вероятностей и математической статистике, подробно изложены характеристики распределения случайных величин, а также их основные свойства, например, в источнике / 25 /.

Однако в ряде теоретических и практических задач оказывается достаточным знание отдельных числовых характеристик.

В качестве мер, применяемых для положения центра группирования случайной величины, используются математическое ожидание и среднее арифметическое значение, в качестве мер рассеяния случайной величины около этого центра – дисперсия, среднее квадратическое отклонение и размах.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины х (Мх) называется сумма произведений возможных ее значений на соответствующие вероятности

 , (2.1)

где n - число возможных значений х.

Например, случайная величина имеет следующее распределение:

Математическое ожидание составит величину:

Мх = 0 · 0,2 + 1 · 0,3 + 2 · 0,4 + 3 · 0,1 = 1,4 .

Математическое ожидание случайной непрерывной величины определяется определенным интегралом от произведения плотности вероятности j (х) на действительное переменное х, взятый в пределах от + Ґ до - Ґ

Mх =  . (2.2)

В практических задачах положение центра группирования Мх характеризует среднее арифметическое значение случайной величины (Х). Это значение определяется суммой произведений наблюдаемых значений случайной величины на их частости:

  =  , (2.3)

где к_i – частота значений х_i; m – число отдельных значений х_i; n – общее число значений х_i.

 Пример. Дано следующее распределение случайной дискретной величины:

Величина  будет равна · ×

 =  ( 1? 2 + 2 ? 4 + 3 ? 2 + 4 ? 1 + 5 ? 1 = 2,5 .

При решении аналогичной задачи для случайной непрерывной величины в качестве х₁ берется значение середины интервала. Например, при интервале 2 - 6 – х₁ = 4 и т.д.

В качестве мер положения используются также такие характеристики, как медиана (Ме) и мода (Мо) / 25 /, которые в данном учебном пособии не рассматриваются.

В практических условиях наиболее часто мерами рассеяния являются: дисперсия – D_Х или σ²; среднее квадратическое отклонение – σ; размах W.

Дисперсией случайной дискретной величины называется сумма произведения квадратов отклонений случайной величины х от ее математического ожидания на соответствующие вероятности:

D_Х =  (2.4)

Для случайной непрерывной величины дисперсия определяется по формуле

D_Х =  (2.5)

Для эмпирического распределения дисперсию обозначают символом σ ² и определяют ее как сумму произведений квадратов отклонений наблюденных значений случайной величины от ее среднего арифметического значения Х на соответствующие частоты, то есть

σ² =  (2.6)

Дисперсия имеет размерность, представляющую квадрат размерности самой случайной величины. На практике это неудобно. Поэтому чаще пользуются не самой дисперсией, а корнем квадратным из нее, взятым со знаком плюс и называемым средним квадратическим отклонением:

σ = + ,

σ = + . (2.7)

Размахом или широтой распределения пользуются как мерой рассеяния в эмпирических распределениях при малом числе наблюдений, когда n < 10. Размахом называется разность между наибольшим и наименьшим наблюденными значениями случайной величины

W_Х = х_max - х_min .

Следует отметить понятие середины поля рассеяния - Δ_W = 0,5 (х_max + х_min). В симметричных распределениях центр группирования Mx оказывается совмещенным с Δ_W.

В литературе, посвященной теории вероятностей и математической статистики, рассмотрены основные свойства дисперсий и средних квадратических отклонений, а также понятия о моментах распределения. Например, в источнике / 25 /.