Вероятностный метод расчета линейных размерных цепей

Крупнейшим недостатком расчета размерных цепей на максимум-минимум является необходимость ужесточения допусков составляющих звеньев пропорционально их количеству с целью достижения допуска замыкающего звена в соответствии с равенством (3.4). При большом числе составляющих звеньев допуски на их изготовление получаются очень жесткими и во многих случаях обработка поверхностей с такими допусками экономически нецелесообразна.

Однако в соответствии с теорией вероятностей сочетание при сборке или при механической обработке всех увеличивающих размеров с верхними предельными отклонениями с уменьшающими размерами, изготовленными с нижними предельными отклонениями (и наоборот), маловероятны, а при значительном числе составляющие звеньев – практически невозможны.

В связи с этим расчет размерных цепей на максимум-минимум должен применяться лишь для коротких размерных цепей, имеющих два-три составляющих звена / 9 /. Технологические размерные цепи, связанные с расчетом размеров и допусков при смене баз, при расчете припусков на обработку и тому подобное в большинстве случаев ограничены двумя-тремя составляющими звеньями и обычно рассчитываются на максимум-минимум.

Расчет размерных цепей вероятностным методом производится с учетом фактического распределения (рассеяния) действительных размеров в пределах поля допуска и вероятности их различных сочетаний при сборке и механической обработке.

В учебной и технической литературе приводятся различные варианты использования этого метода. Нам представляется удобным для практического использования вариант, предложенный профессором А.А.Маталиным / 9 /.

При рассмотрении вероятностного метода принимается:

ω₁ – поле рассеяния i-го звена;

ω_Δ – поле рассеяния замыкающего звена;

Е_Сω – координата середины поля рассеяния кривой нормального распределения;

ТАi = ω_i; ТА_Δ = ω_Δ.

Анализ данных проведенных исследований по распределению (рассеянию) действительных размеров показывает, что большое практическое значение имеют законы: нормального распределения (закон Гаусса), равнобедренного треугольника (закон Симпсона), равной вероятности.

В соответствии с положениями теории вероятностей суммирование случайных величин производится квадратически, причем сумма этих величин, в свою очередь, представляет собой случайную величину, изменяющуюся по определенному закону распределения. При этом закон распределения размеров замыкающего звена тем ближе к закону нормального распределения, чем больше составляющих звеньев имеет размерная цепь.

Наименьшее количество составляющих звеньев (n), при котором происходит распределение размеров замыкающего звена по закону нормального распределения, составляет при распределении составляющих размеров цепи по законам: равной вероятности – n = 4, равнобедренного треугольника – n = 3, нормального распределения – n = 2 / 9 /.

В соответствии с вышеизложенным и с учетом методических указаний РД 50-635-87 / 33 / можно представить равенство

ω_Δ = ТА_Δ = t_Δ  , (3.22)

где t_Δ – коэффициент риска, характеризующий вероятность выхода отклонений замыкающего звена за пределы допуска; λ – относительное среднее квадратическое отклонение.

Значения коэффициентов t_Δ и λ приводится в литературе, посвященной исследованиям рассеяния действительных размеров при изготовлении изделий и расчету размерных цепей. В методических указаниях РД-50-635-87 /33/ приводятся такие данные.

При законе нормального распределения действительных размеров замыкающего звена при риске 0,27 % t_Δ = 3.

Величина λ² составляет для законов: нормального распределения – 1/9, равнобедренного треугольника – 1/6, равной вероятности 1/3.

При практических расчетах поле рассеяния, при законе нормального распределения, ограничивается некоторыми пределами (рис.3.4), зависящими от величины среднего квадратического отклонения σ, равным ±3 σ, то есть

ω = (L_ср + t σ) – (L_ср – t σ) = 2 t σ,

где L_ср – среднее арифметическое значение случайной величины; ω – поле рассеяния случайной величины; t = ( L_i - L_ср)/ σ – коэффициент риска.

Вероятностный метод расчета размерных цепей обычно производится в случаях, когда число составляющих звеньев n ≥ 3, то есть когда рассеяние размеров замыкающего звена подчиняется закону нормального распределения независимо от законов распределения составляющих звеньев. При этом, как указано выше, принимается t_Δ = 3, когда процент риска выхода действительного размера за пределы поля допуска составляет 0,27 %. Практически в этом случае количество деталей или сборочных единиц, выходящих за пределы поля допуска, не превышает 3 шт. на 1000 шт. изделий.

При механической обработке заготовок на настроенных станках рассеяние действительных размеров подчиняется закону нормального распределения при легко выдерживаемых допусках ( 9-10-го квалитетов и грубее). При средней точности обработки (7-8-й квалитеты) распределение соответствует закону равнобедренного треугольника и при очень жестких допусках (5-6-й квалитеты) – закону равной вероятности.

При распределении размеров составляющих звеньев по закону нормального распределения для линейной размерной цепи с n ≥ 4 равенство (3.22) приобретает вид:

ω_Δ = ТА_Δ = . (3.23)

При проектных расчетах размерных цепей, когда законы распределения размеров неизвестны, условно принимают распределение всех звеньев одинаковым, соответствующим закону равнобедренного треугольника / 9 /. Тогда значение λ² в формуле (3.22) принимается равным 1/6. В этих случаях равенство (3.22) приводится к простому выражению

ω_Δ = ТА_Δ = 1,2 . (3.24)

При вычислении предельных значений замыкающего звена вероятностным методом имеет значение симметричность расположения размеров составляющих звеньев в пределах полей рассеяния (или внутри полей их допусков).

При симметричном расположении размеров составляющих звеньев координата середины поля рассеяния замыкающего звена и координата середины поля допуска ЕсА_Δ определяются по равенству (3.11).

Затем рассчитывается значение предельных отклонений по равенствам (3.12) и (3.13).

Смещение центра группирования отклонений составляющих звеньев характеризуется величиной коэффициента относительной асимметрии α_i. Значения коэффициентов α_i находятся в пределах от 0 до ± 0,5 и определяются опытным путем или находятся из соответствующих таблиц. В проектных условиях обычно принимают α_i = 0 для всех составляющих звеньев размерной цепи (условно принимая распределение их отклонений симметричным).

Выше были изложены основные положения по расчету размерных цепей вероятностным методом при решении обратной задачи.

Прямая задача при использовании вероятностного метода решается принципиально так же, как и при решении подобной задачи при выполнении расчетов размерной цепи по методу максимум-минимум.

Решая прямую задачу, используются полученные выше зависимости.

Так, при способе попыток должно выполняться равенство (3.24). При использовании способа равных допусков определяется средний допуск (Т_ср)

Т_ср = ТА_Δ /1,2  . (3.25)

Решая задачу по способу единой степени точности, определяется среднее количество единиц допуска (а_ср) по равенству

а_ср = ТА_Δ /1,2 . (3.26)