Выборочный метод

К числу основных задач математической статистики относится разработка методов изучения массовых явлений или процессов на основе сравнительно небольшого количества наблюдений или опытов. Научное обоснование таких методов находит отражение в теории выборок.

К основным понятиям и определениям теории выборок относятся следующие:

1. Генеральная совокупность и выборка из нее

Статистической совокупностью называется группа предметов, объединенных каким-либо общим признаком или свойством качественного или количественного характера. Члены этой совокупности – это образующие ее предметы. Общее число членов совокупности составляет ее объем. Эмпирическая совокупность содержит конечное число членов, полученных в результате испытаний.

В математической статистике для обследования эмпирической совокупности большого объема прибегают к выборкам из нее.

Выборкой называется часть членов совокупности, отобранных из нее для получения сведений обо всей совокупности. В этом случае совокупность, из которой извлекается выборка, называется генеральной совокупностью.

Число членов, образующих выборку, определяет ее объем.

Для того, чтобы по данным выборки можно было бы достаточно уверенно судить об интересующем нас признаке генеральной совокупности, объекты выборки должны правильно его представлять. Это требование коротко формулируется так: выборка должна быть репрезентативной (представительной).

2. Виды выборок

По способу образования выборки делятся на повторные и бесповторные.

Повторная выборка образуется путем последовательного извлечения из генеральной совокупности несколько членов с возвратом каждого из них, после соответствующего обследования, обратно в генеральную совокупность. При извлечении следующего объекта из совокупности не исключена возможность снова достать его же. Если из генеральной совокупности произведено n таких извлечений объекта, то говорят, что образована повторная выборка объекта n.

Бесповторная выборка образуется путем извлечения некоторого числа членов генеральной совокупности для необходимого обследования, без возврата этих членов совокупности.

По преднамеренности отбора выборки делятся на пристрастные и случайные.

Если при отборе из генеральной совокупности членов для выборки отдается предпочтение одним членам совокупности перед другими, то такая выборка считается пристрастной. Например, из партии деталей отбираются только детали, имеющие действительные размеры больше наибольших предельных размеров.

Выборка считается случайной, если все объекты генеральной совокупности имеют равную возможность попасть в выборку. Для образования случайных выборок пользуются либо отбором по жребию, либо путем тщательного перемешивания предметов в емкости и отбора наудачу из разных мест емкости.

По отношению к времени образования выборки подразделяются на временные (текущие) и единовременные.

Временной или текущей выборкой называется такая, которая составлена из объектов, изготовленных последовательно за определенный промежуток времени. Например, пять деталей, изготовленных подряд на станке в течение определенного времени, будут представлять бесповторную временную выборку из совокупности деталей, изготовленных до момента взятия этой выборки.

Единовременной выборкой называется такая, которая извлекается из продукции после ее изготовления, когда экземпляры, входящие в партию, перемешаны между собой.

По объему выборки делятся на большие и малые.

Выборка считается большой, когда ее объем равен или больше 25. Выборка считается малой, когда ее объем меньше 25 членов. В условиях производства обычно большая выборка содержит 50-100 членов и более, малая – 5-10 членов.

Выборочный метод используется при решении двух основных задач, имеющих большое практическое значение. Первая задача заключается в установлении закона распределения изучаемой случайной величины и параметров этого распределения. Практическое использование результатов решения такой задачи будет рассмотрено в главе 6.

Вторая задача посвящена статистической проверке гипотез, выдвигаемых при различных производственных условиях. Решение этой задачи подробно рассмотрено в специальной литературе / 25 и др. /.

При решении первой задачи используются следующие основные положения / 25 /. На основании закона больших чисел можно утверждать, что, если генеральная совокупность подчиняется определенному закону распределения, то и выборка из этой совокупности будет подчиняться этому же закона, если ее объем достаточно велик. Утверждение будет тем точнее, чем больше объем выборки.

Эмпирическая совокупность может быть рассмотрена как выборка большого объема из генеральной совокупности, которая подчиняется определенному закону распределения. Поэтому с определенной степенью точности и надежности характер эмпирического распределения позволит установить близкое ему теоретическое распределение. В ряде случаев это распределение можно установить заранее, с использованием положений теории вероятностей. Отмеченное обстоятельство можно проиллюстрировать рядом примеров. Основываясь на теореме Ляпунова, можно считать, что суммарная величина случайных погрешностей размеров поверхностей при их обработке на настроенных металлорежущих станках подчиняется закону нормального распределения. То же можно утверждать о суммарной погрешности измерения и многих других технических величинах, подверженных колебаниям под действием большого количества факторов.

Когда закон распределения может быть заранее установлен, задача сводится к нахождению неизвестных его параметров. Для нормального распределения определяется среднее арифметическое значение величины _о и ее среднего квадратического отклонения σ₀.

Оценка параметров распределения генеральной совокупности может быть практически произведена только на основании данных выборки из этой совокупности.

По выборке из генеральной совокупности можно определить статистические характеристики этой выборки  и S. С некоторым приближением считают, что они по своим величинам будут близки к соответствующим х параметрам генеральной совокупности о и σ₀, то есть являться их оценками. Оценки должны быть состоятельными, не совмещенными и эффективными. Только в этом случае они достаточно правильно и близко могут характеризовать параметры генеральной совокупности.

Выполнение указанных требований подробно рассмотрено в специальной литературе / 25 и др. /.

При использовании выборочного метода важное значение приобретают свойства выборочной средней () и выборочной дисперсии (S²).

В краткой форме рассмотрим эти свойства / 25 /

1. Средняя арифметическая  и дисперсия выборки S² будут как угодно отличаться от параметров генеральной совокупности о и δо², то есть о ? ; σ₀² = S², если n > ? , где n – объем выборки.
2. Ошибка вычисления о по средней выборке зависит от ее объема n и равна

 ±  . (2.17)

 Ошибка вычисления σ₀ по среднему квадратическому отклонению S выборки зависит от ее объема n и равна

±  . (2.18)

3. При нормальном распределении величины х в генеральной совокупности со средней арифметической  и дисперсией σ²₀ средние арифметические  выборок из этой совокупности будут также подчинены нормальному распределению со средней о и дисперсией σ² = , каков бы ни был объем выборок n , лишь бы число выборок было достаточно велико.
4. Если дисперсия σ₀² генеральной совокупности неизвестна, то для больших значений n с большой вероятностью малой ошибки можно дисперсию выборочных средних вычислять приближенно, по равенству

σ² =  , (2.19)

где S² – дисперсия большой выборки объема n , вычисляемая по формуле

S² =  ? σ₀^{2 .} (2.20)

5. Приведенная выше связь дисперсии выборочных средних σ² с дисперсией генеральной совокупности σ²о в виде соотношения

 σ² = ?

 действительна для повторных выборок.

Так как разность объектов генеральной совокупности N и выборка n очень велика, то для бесповторных выборок можно пользоваться равенством (2.19), при этом ошибка будет весьма ничтожной.

Из свойств выборочных средних и дисперсии следует, что точность вычислений о и σ²₀ по данным выборки из нее зависит от объема выборки, причем точность возрастет с ростом объема выборки. Однако практически не всегда бывает возможным или легко осуществимым взятие больших выборок или проведение большого числа наблюдений. В этих случаях важно сделать оценку точности и надежности приближенных равенств о ? ; σ₀ ? S.

Такую оценку можно произвести по рекомендациям, изложенным в специальной литературе / 25 /.

Рассмотренные основные положения теории вероятностей и математической статистики используются при решении различных задач в технологии машиностроения:

• статистическая проверка гипотез,

• корреляционные связи,

• применение статистических методов в технологических исследованиях,

• статистический анализ технологических процессов и ряд других / 25 /.

В главе 3 используются законы распределения случайных величин при изложении вероятностного метода расчета размерных цепей.

Некоторые вопросы статистического анализа технологических процессов и предупредительного статистического контроля будут рассмотрены в главе 6.