Законы распределения случайных величин

Распределение случайных величин при наличии определенных условий могут подчиняться вполне определенным законам, которые изучаются в теории вероятностей. Наибольшее практическое значение в технологии машиностроения имеет закон нормального распределения или закон Гаусса. Этому закону подчиняются многие случайные непрерывные величины. Например, погрешности измерений, действительные размеры деталей, обработанных на настроенных станках или мерным инструментом и многие другие.

Широкое применение закона нормального распределения в технологии машиностроения находит свое теоретическое объяснение в теореме Ляпунова. Ниже приводится описание следствия из этой теоремы / 25 /.

Если случайная величина Х представляет сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин х₁, х₂, х₃, ..., х_n, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то независимо от того, каким законом распределения подчиняются слагаемые х₁, х₂, х₃, ..., х_n, сама величина Х будет иметь распределение вероятностей, близкое к нормальному, и тем точнее, чем больше число слагаемых.

Отмеченное обстоятельство дает теоретическое объяснение тому, что при устойчивом процессе обработки деталей на настроенных станках действительные размеры подчиняются закону нормального распределения, так как результирующая погрешность обработки представляет собой сумму большого числа погрешностей, зависящих от станка, приспособления, инструмента и заготовки.

Дифференциальная функция распределения случайной величины непрерывного типа для этого закона имеет следующее выражение:

φ(х) =  , (2.8)

где х – переменная случайная величина (- Ґ < х < + Ґ ); j (х) – плотность вероятности; σ – среднее квадратическое отклонение х от ; е – основание натуральных логарифмов.

Графическое выражение рассматриваемого закона представлено на рис.2.6. Из вида кривой нормального распределения можно сделать вывод о том, что она симметрична относительно ординаты точки х = , то есть центра группирования.

Положение этой кривой относительно начала координат и ее форма определяются двумя параметрами  и σ (рис.2.7, 2.8).

Интегральный закон нормального распределения в общем виде может быть выражен так:

 F (x) =  . (2.9)

×

Интегральная кривая нормального распределения представлена на рис.2.9.

Если изменение случайной величины х следует закону нормального распределения, она может принимать любые значения в пределах ± Ґ, поэтому

р (- Ґ < х < + Ґ)  dx = 1 .

Вероятность р (- Ґ < х < + Ґ) = 1 представляет собой площадь под дифференциальной кривой нормального распределения. Очевидно, что вероятность значений х в любом другом интервале х₁ – х₂ (рис.2.6) будет меньше единицы:

 Р (х₁ < х < х₂)  dx . (2.10)

Для облегчения вычислений эту формулу с помощью нормирующего множителя  можно привести к виду:

Р (х₁ < х < х₂)  dt . (2.11)

Новые пределы интегрирования  и  заменили пределы х₁ и х₂.

Делая некоторые преобразования интеграла (2.11), можно записать:

Р (х₁ < х < х₂)   dt -  dt . (2.12)

Интеграл ? dt = Ф(t) называют нормированной функцией Лапласа, и его значения для различных  приводят в таблицах, именуемых «Значения функции Лапласа».

При использовании этих таблиц решение задачи по определению вероятности того, что случайная величина х находится в пределах х₁ – х₂ сводится к нахождению разности между двумя значениями t₁ и t₂ функции Лапласа:

Р (х₁ < х < х₂) = Ф (t₂) -Ф (t₁) = Ф () - Ф ()

В технике и многих других прикладных науках считают, что практическая зона рассеяния случайной величины х, подчиняющейся закону нормального распределения, лежит в пределах ± 3σ, то есть в пределах 6σ (рис.2.6).

Легко убедиться в том, что значения случайной величины х будут лежать в интервале от - 3σ до + 3σ с вероятностью, близкой к единице.

Для данного случая

Р (х_а < х < х_в) = Р [(- 3σ ) < х < + 3σ ] = Ф (t₂) - Ф (t₁) .

Так как х_а = - 3σ ; х_в = + 3σ ,

тогда t₁ = - 3, а t₂ = + 3 .

Следовательно, можно записать

Р [(- 3σ ) < х < + 3σ] = Ф (3) - Ф (-3) = 2 Ф (3) .

Согласно таблицам, содержащим значение функции Лапласа, 2 Ф (3) = 0,9973. Это означает, что вероятность нахождения случайной величины вне указанного интервала очень мала (0,0027).

Распределение случайной величины по закону нормального распределения является следствием действия многих факторов случайного характера, имеющих примерно одинаковую степень активности и независящих (или слабо зависящих) один от другого. Однако такой комплекс условий не всегда оказывается полным. Его нарушение приводит к определенным отклонениям закона распределения от нормального. Отмеченные отклонения рассмотрены в источниках / 7, 25 и др. /.

На практике распределения случайные величины могут быть подчинены другим законам. Их много / 25 /. Рассмотрим лишь два из них: закон равной вероятности и закон Симпсона (закон равнобедренного треугольника). Отмеченные законы имеют практическое значение в технологии машиностроения.

Закон равной вероятности

Этот закон встречается, когда наряду со случайными факторами, вызывающими рассеяние, действует доминирующий фактор, непрерывно и равномерно изменяющий во времени положение центра группирования Мх.

Закон распределения случайной величины непрерывного типа обычно задается либо с помощью плотности вероятности – (х), либо с помощью функции распределения – F (х). Если непрерывная случайная величина х при испытаниях принимает все значения интервала (а –в) с одинаковой плотностью вероятности, то распределение плотности вероятности графически будет выражаться в виде прямоугольника с основанием ав и высотой (х) = const (рис.2.10). Такой закон распределения случайной непрерывной величины называется законом равной вероятности, а само распределение – равномерным.

При интервале изменений случайной величины х от а до в

Р (а < х < в) = ,

то есть вероятность того, что случайная величина х при испытаниях будет принимать значения в интервале (а –в), равна площади под дифференциальной кривой      распределения. Согласно (рис.2.10) эта площадь представляет собой прямоугольник с основанием ав и высотой (х), следовательно ×

(в– а) (х) = 1 .

Отсюда уравнение дифференциальной функции распределения или плотности вероятности будет иметь следующее выражение:

(х) =  (а ? х ? в); (2.13)

(х) = 0 ( х > в; х < а).

Уравнение интегральной функции равномерного распределения будет иметь следующий вид / 25 /:

F (х) =  (х – а) , (2.14)

(а < х < в) .

При этом F (х) = 0, когда х < а и F (х) = 1, когда х ? в.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, соответственно, равны / 7 /:

Мх = ; Dх = ; σ =

Закон Симпсона

При определенных условиях кривая распределения случайной величины имеет вид равностороннего треугольника, из-за чего закон Симпсона часто называют законом треугольника (рис.2.11).

При выборе в качестве начала отсчета случайной величины ее математическое ожидание и характеристики имеют следующий вид / 7 /:

(х) =  при - а <х < а) , (2.15)

(х) = 0 при х < - а; х > а , (2.16)

Мх = 0; Dх = ; σ =  .

Если распределения по законам Симпсона и равной вероятности рассматривать как отклонения от закона нормального распределения, то можно отразить и количественную сторону этих отклонений с помощью коэффициента λ, который называют относительным средним квадратическим отклонением:

λ = ,

где ωх – поле рассеяния.

Подставив в эту формулу величины σ и ωх, соответствующие трем рассмотренным законам распределения случайной величины, получим для каждого из них свое значение коэффициента λ / 7 /.

Таблица 2.4

Значения относительного среднего квадратического отклонения